А к инициативе?

"В начале каждого сражения вы совершаете проверку инициативы, совершая проверку Ловкости."
Инициатива - это и есть проверка Ловкости, так что да

Технически, спасбросок от смерти — всё ещё спасбросок, так что я бы сказал, что да.

Нет, при потери сознания - настройка спадает

Ложь, не спадает: "Настройка на магический предмет заканчивается, если существо перестаёт удовлетворять требованиям для осуществления настройки, или если предмет находился на расстоянии более 100 футов в течение, по крайней мере, 24 часов, или если существо умирает, а также, если другое существо настраивается на предмет. Существо может также добровольно отменить настройку, потратив другой короткий отдых, фокусируясь на предмете, за исключением тех случаев, когда предмет проклят"

Спасбросок от смерти не является проверкой характеристики - это чистый бросок. Так что увы, камень удачи в этом случае бессилен.

Ну так камень даёт +1 к спасброскам, поэтому и от смерти поможет.